이항분포 개념 및 코드 예제

1. 이항분포

이항분포는 베르누이 실험을 n번 반복했을 때의 확률분포입니다. 베르누이 실험은 두 가지 결과(성공 또는 실패)만을 가지는 실험입니다. 이항분포는 성공의 확률을 p, 실패의 확률을 q(=1-p)라 할 때, n번의 시행 중 x번 성공할 확률을 나타내며, 수학적으로는 P(X = x) = nCx * p^x * q^(n-x) = n!/(n-x)!x! * p^x * (1-p)^(n-x)로 표현됩니다.

 

 

2. 이항분포의 조건

이항분포는 다음과 같은 조건을 만족합니다:

• 실험은 n번 반복됩니다.
• 각 시행은 상호 배타적인 두 결과(성공 또는 실패)를 갖습니다.
• 각 시행은 독립적입니다.
• 각 시행에서의 성공 확률 p는 일정합니다.
• 확률변수 X는 n번의 시행 중 성공 횟수를 나타냅니다.

 

3. 이항분포의 특징

이항분포의 형태는 시행 횟수 n과 성공 확률 p에 따라 다릅니다:

• p가 0.5에 가까우면, n의 크기에 관계없이 좌우대칭 종모양 형태를 나타냅니다.
• n이 크면, p의 크기에 관계없이 좌우대칭을 이룹니다.
• p < 0.5이고 n이 작으면 오른쪽 꼬리분포를 나타냅니다.
• p > 0.5이고 n이 작으면 왼쪽 꼬리분포를 나타냅니다.

 

4. 이항분포의 기대값과 분산

기대값은 μ = np이고,
분산은 δ^2 = npq = np(1-p) 입니다.
표준편차는 δ = sqrt(np(1-p)) 로 계산됩니다.

 

 

5. 실생활 예제

예를 들어, 공장에서 생산되는 전구 중 5%가 불량품일 때, 100개의 전구를 무작위로 선택했을 때 불량품의 개수를 예측할 수 있습니다. 여기서 n=100, p=0.05, q=0.95입니다.

 

 

6. 코드 예제 

파이썬을 사용하여 이항분포를 구현해 보겠습니다.
scipy 라이브러리의 binom 클래스를 사용하여 이항분포를 계산할 수 있습니다.

import scipy.stats as stats

# 이항분포 계산
n, p = 100, 0.05  # n은 시행 횟수, p는 성공 확률
binom_dist = stats.binom(n, p)

# 확률 및 기대값, 분산 계산
print(f"P(X=10): {binom_dist.pmf(10)}")  # 10개가 불량품일 확률
print(f"기대값: {binom_dist.mean()}")  # 기대값
print(f"분산: {binom_dist.var()}")  # 분산