2차원 좌표 차원축소 알고리즘

2차원 좌표를 하나의 숫자로 나타내는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이러한 변환은 주로 데이터 압축, 이미지 처리, 컴퓨터 그래픽스 등에서 사용됩니다. 대표적인 방법 몇 가지를 소개하겠습니다.

 

1. 일렬로 나열하기 (Linearization)

2차원 좌표를 일렬로 나열하는 방법은 가장 간단하고 직관적인 방법입니다. 이 방법은 2차원 배열을 1차원 배열로 변환하는 데 자주 사용됩니다. 예를 들어, m×n 크기의 행렬에서 (i,j) 좌표를 하나의 숫자로 표현할 수 있습니다. 일반적으로 이 숫자는 i×n+j로 계산됩니다.

def linearize_coordinates(x, y, width):
    """
    2차원 좌표를 1차원으로 변환
    x, y: 2차원 좌표
    width: 행렬의 너비 (열의 수)
    """
    return x * width + y

# 예시
x, y = 3, 4  # 2차원 좌표
width = 10   # 행렬의 너비
index = linearize_coordinates(x, y, width)
print(f"2차원 좌표 ({x}, {y})는 1차원 인덱스로 {index}입니다.")

 

 

2. 힐버트 커브 (Hilbert Curve)

힐버트 커브는 2차원 공간을 1차원으로 매핑하는 방법 중 하나입니다.
이 방법은 공간의 연속성을 유지하면서 2차원 공간을 1차원 숫자로 변환할 수 있어, 이미지 압축이나 공간 데이터베이스에서 유용합니다.

def hilbert_curve(x, y, order):
    """
    힐버트 커브를 이용한 2차원 좌표의 1차원 변환
    x, y: 2차원 좌표
    order: 힐버트 커브의 차수
    """
    n = 2 ** order
    idx = 0
    s = n // 2
    while s > 0:
        if x & s:
            idx += 1
        if y & s:
            idx += 2
        x, y = rotate(s, x, y)
        idx <<= 2
        s >>= 1
    return idx >> 2

def rotate(n, x, y):
    if y < n:
        if x < n:
            return y, x
        return x, y
    if x < n:
        return n - 1 - y, n - 1 - x
    return x, y

# 예시
x, y = 2, 3  # 2차원 좌표
order = 2     # 힐버트 커브의 차수
index = hilbert_curve(x, y, order)
print(f"힐버트 커브에 의한 2차원 좌표 ({x}, {y})의 1차원 변환 값: {index}")

 

 

 

3. Z-순서 (Z-order)

Z-순서는 2차원 좌표를 바이너리로 변환한 후, 이 바이너리 숫자들을 교차시켜 하나의 숫자로 만드는 방법입니다.
이 방법은 빠른 처리 속도를 가지며, 컴퓨터 그래픽스나 공간 데이터베이스에서 널리 사용됩니다.

def hilbert_curve(x, y, order):
    """
    힐버트 커브를 이용한 2차원 좌표의 1차원 변환
    x, y: 2차원 좌표
    order: 힐버트 커브의 차수
    """
    n = 2 ** order
    idx = 0
    s = n // 2
    while s > 0:
        if x & s:
            idx += 1
        if y & s:
            idx += 2
        x, y = rotate(s, x, y)
        idx <<= 2
        s >>= 1
    return idx >> 2

def rotate(n, x, y):
    if y < n:
        if x < n:
            return y, x
        return x, y
    if x < n:
        return n - 1 - y, n - 1 - x
    return x, y

# 예시
x, y = 2, 3  # 2차원 좌표
order = 2     # 힐버트 커브의 차수
index = hilbert_curve(x, y, order)
print(f"힐버트 커브에 의한 2차원 좌표 ({x}, {y})의 1차원 변환 값: {index}")

 

 

 

4. 칸토어 페어링 함수 (Cantor Pairing Function)

칸토어 페어링 함수는 두 개의 자연수를 하나의 고유한 자연수로 매핑하는 방법입니다.
이 방법은 수학적으로 정의된 함수를 사용하여 2차원 좌표를 하나의 숫자로 변환합니다.

이러한 방법들은 모두 특정 상황에 따라 그 유용성이 달라질 수 있습니다. 각 방법은 2차원 데이터를 효율적으로 1차원으로 변환하는 데 목적이 있으며, 사용 용도에 따라 적합한 방법을 선택하는 것이 중요합니다.

def cantor_pairing(x, y):
    """
    칸토어 페어링 함수를 이용한 2차원 좌표의 변환
    x, y: 2차원 좌표
    """
    return int(0.5 * (x + y) * (x + y + 1) + y)

# 예시
x, y = 3, 4
unique_number = cantor_pairing(x, y)
print(f"칸토어 페어링 함수에 의해 2차원 좌표 ({x}, {y})는 고유한 숫자 {unique_number}로 변환됩니다.")